Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия 1180.

Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия



1. Матрицы. Терминология и обозначения.
Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел - элементов м-цы Ai,j, записанных в виде прямоугольной таблицы:

Набор аi1, ai2, ain - наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj - jтым столбцом.
М-ца размером 1хп - называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 - столбцом. Если размерность пхп - матрица называется квадратной. Набор элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1, ап1 - побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой. Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все остальные - 0, называется единичной, обозн.: Е
Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.
2. Действия с матрицами
1) Сложение
Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:
Сij=Aij+Bij (I=1...m, j = 1...n)
C=A+B (размер всех м-ц: mxn)
2) умножение м-цы на число
Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица: B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:
Вij=С(Aij (I=1...m, j = 1...n)
В=С(А
вычитание:
С=А+(-)В = А-В
3) умножение м-ц
А=(Aik), B=(Bkj) - квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:
Сij = Ai1(B1j+... Ain(BnJ
С=АВ. Можно записать так:

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА
Св-ва умножения м-цы:
(АВ)С=А(ВС)
А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.
3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы
Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:
1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

отсюда вытекает, что

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

называется транспонированной по отношению к м-це А=

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm
Св-ва операции транспонирования.
1 (АТ)Т=А
2 (А+В)Т=АТ+ВТ
3 (СА)Т=САТ (С-число)
4 (АВ)Т=АТ(ВТ
4. Элементарные преобразования матрицы.
1 Переставление двух строк
2 Умножение строки на не равное 0 число В
3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.
Также производят элементарные преобразования столбцов.
5. Матрицы элементарных преобразований.
С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:
1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк например м-ца:
получена перестановкой 2 и 4 строки
2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке



3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:
Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк м-цы А
1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j
2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j строки м-цы А на число В
3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов м-цы А
1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами I,j
2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j столбца м-цы А на число В.
3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.
6. Определители
С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.
Определителем м-цы второго порядка:

наз число: а11(а22-а12(а21
Определитель м-цы третьего порядка:
=
=
также можно восп правилами треугольника:







Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен, определитель м-цы порядка n будет равен:
D= a11(M11-a21(M21+...+(-1)n+1(an1(Mn1
где Мi1 - определитель м-цы порядка n-1, это число называется дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1 столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому столбцу.

число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно записать так:

Определитель - сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на их алгебраический дополнитель.
7. Свойства определителя
1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]
отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств определителя.
2 Линейность
Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

тогда D=fD'+lD''
где:
отличаются от D только I-тыми строками.
3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой строк, то В* = -В
4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0
5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого определителя на это число
6 определитель с 0 строкой = 0
7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)
8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.
9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение соответствующих элементов другой строки опр = 0
8. Обратная матрица
Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.
М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:
В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji, эл-та аji в м-це А.
М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-вами:
АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)
Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:
АА-1=I, А-1А=I
М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I, где - неизвестная матрица.
Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно привести к единичной матрице
1 Привести к треугольному виду
2 Диагональ матрицы пр