Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр го.

Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр года

примерный перечень экзаменационных вопросов
                           АНАЛИТИчЕСКАя ГЕОМЕТРИя


 1. ЛИНИя НА ПЛОСКОСТИ. ЕЕ УРАВНЕНИЕ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ. ТЕКУЩИЕ
    КООРДИНАТЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОчКИ ЛИНИИ.
 2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на
    плоскости Oxy.
 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и
    перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми
    коэффициентами.
 4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым
    коэффициентом.
 5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
 6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или
    каноническое уравнение прямой.
 7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
 8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у
    которых заданы направляющие векторы.
 9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у
    которых заданы нормальные векторы.
10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с
    угловым коэффициентом.
11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.
12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.
14. Общее уравнение плоскости.
15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.
16. Уравнение плоскости в отрезках.
17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.
19. Смешанное произведение трех векторов.
20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.
22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.
27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).
30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой
    второго порядка на плоскости?
31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?
33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
34. Вырожденные поверхности второго порядка.
35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
36. Метод параллельных сечений.
37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.
38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.
39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.
40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.
42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.
43. Конус вращения и его вид.
44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида
    и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.
45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.
46. Линейчатые поверхности второго порядка.
47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
    пространстве при  параллельном сдвиге осей.
48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в
    пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол (.
49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с
    центром в начале координат.
50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?
51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?
52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго
    порядка.
53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?
54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0,
    используя формулы Крамера.
55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если [pic] = (2, 5)
    и [pic]= (-4, -10) - их направляющие векторы.
56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если [pic] = (-
    2, 3) и [pic] = (3, 4) - их нормальные векторы.
57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z +
    1= 0.
58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5)
    на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3,  3).
59. При каком значении a прямая [pic] будет лежать на плоскости 3x – y – z
    – 3 = 0?
60. Найти  координаты вектора, представляющего собой векторное произведение
    вектора  [pic] = (1, 6, 0) и вектора [pic](1, -1, -1).
61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3,
    0, 2).
62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3,
    0, 2).
63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
65. Найти направляющий вектор прямой: [pic].
66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0,
    0, 0),  М2(2, -1, 2),  М3(0, -1, 1).
67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение
    трех векторов  [pic] = (1, 2, 3), [pic] = (-1, 2, 4), [pic] = (1, 1, 0).
68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
    второго порядка при этом получается?
69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго
    порядка при этом получается?
70. Меридиан [pic]= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго
    порядка при этом получается?
71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность
    второго порядка при этом получается?
72. Докажите, что прямая [pic] лежит на гиперболоиде [pic].

1 Найдите точки пересечения прямой:[pic] и сферы х2 + у2 + z2 = 100.

73. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому
    виду уравнение поверхности второго порядка [pic]? Как называется эта
    поверхность?
74. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид [pic]?
75. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
    выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
    следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы
    выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет
    следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
77. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
    5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой повер