Оптимальные и адаптивные системы.

Оптимальные и адаптивные системы

			При [pic] - корни вещественные



                                  [pic]

      Сумма двух экспонент представляет собой:

                                    [pic]

      Если  [pic],  то  корни   комплексно-сопряженные   и   решение   будет
представлять собой периодическую функцию. В реальной  системе,  переключений
не более 5 - 6.


                      3. Метод поверхности переключений

            Данный  метод  позволяет  найти  управление  функций  переменной
      состояния для  случая  когда  оптимальное  управление  носит  релейный
      характер

                                   [pic].

      Таким  образом  этот  метод  можно   применять   при   решении   задач
      оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением

                                   [pic],

                                   [pic].

            Суть метода  заключается  в  том,  чтобы  во  всём  пространстве
      состояний выделить точки, где  происходит  смена  знака  управления  и
      объединить их в общую поверхность переключений.

                                   [pic],

      [pic] - поверхность переключений

                                   [pic].

      Закон управления будет иметь следующий вид

                                   [pic].

      Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать
      переход из произвольной начальной точки в начало координат

                                   [pic].
      Если конечная точка не совпадает с началом  координат,  то  необходимо
      выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.
            Имеем объект вида

                                   [pic].

      Рассматриваем переход [pic], с критерием оптимальности

                                   [pic].

      Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида

                                   [pic],

      с неизвестным [pic], начальные условия [pic] нам также неизвестны.
      Рассматриваем переход:

                                    [pic]
                           Метод обратного времени
                         (метод попятного движения)

            Этот метод позволяет определить поверхности переключений.
           Суть метода заключается в том, что начальная  и  конечная  точки
      меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий
      остаётся одна для [pic].
           Каждая из этих  траекторий  будет  оптимальна.  Сначала  находим
      точки, где управление меняет знак и объединяем  их  в  поверхность,  а
      затем направление движения меняем на противоположное.

                           [pic]

                                   Пример

      Передаточная функция объекта имеет вид

                                   [pic].

      Критерий оптимальности быстродействия

                                    [pic]

      Ограничение на управление [pic].

      Рассмотрим переход

                                   [pic].


      1)
                                   [pic],
      2)
                                   [pic].
      3)
                                    [pic]

оптимальное управление будет иметь релейный характер

                                   [pic].

      4) Перейдём в обратное время (т.е. [pic]). В обратном  времени  задача
будет иметь такой вид

                                   [pic].

      5) Рассмотрим два случая:
     1. [pic]

Получим уравнения замкнутой системы
                                   [pic].

       Воспользуемся  методом  непосредственного   интегрирования,   получим
зависимость [pic] от [pic] и поскольку [pic]-[pic], то имеем

                                   [pic],

т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то [pic], [pic] получим

                                                               [pic],
                                               (*)

аналогично
                                    [pic]

                                    [pic]

подставив (*), получим
                                     [pic],

отсюда

                                        [pic].

Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление

                                    [pic]

2. [pic]

                                    [pic]

Применив метод непосредственного интегрирования, получим:

                           [pic]   [pic]    [pic],

                            [pic]  [pic]  [pic],

                                   [pic].

Функция будет иметь вид:

                                    [pic]
Изменив направление
                                    [pic]
                                                              точка    смены
знака
                                                                      (точка
переключения)
      Общее аналитическое выражение:
                                   [pic].

      Уравнение поверхности:

                                   [pic].

      Оптимальный закон управления:

                                   [pic],

подставив уравнение поверхности, получим:

                                   [pic].


                         2.5. Субоптимальные системы

       Субоптимальные  системы  -  это  системы  близкие  по   свойствам   к
оптимальным

                                    [pic]

[pic]- характеризуется критерием оптимальности.

                                    [pic]

[pic] - абсолютная погрешность.

[pic]- относительная погрешность.

      Субоптимальным называют процесс  близкий  к  оптимальному  с  заданной
точностью.
      Субоптимальная система - система где  есть  хоть  один  субоптимальный
процесс.

Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:

     1. при  аппроксимации  поверхности  переключений  (с  помощью  кусочно-
        линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);

      [pic]

      при  [pic]  в  субоптимальной  системе  будет  возникать   оптимальный
      процесс.
      [pic]

     2. ограничение рабочей области пространства состояний;

      [pic]

      [pic]