Новости Словари Конкурсы Бесплатные SMS Знакомства Подари звезду
В нашей
базе уже
59876
рефератов!
Логин

Пароль

Матрицы и определители

Матрицы и определители.
Матрицы и определители



Омский государственный педагогический университет филиал ОмГПУ в Г. Таре Матрицы и определители Методические рекомендации к изучению курса "Алгебра и теория чисел" Тара, 1999г. ББК Печатается по решению 22.143 редакционно-издательского М74 сектора филиала ОмГПУ в г.Таре Матрицы и определители: Методические рекомендации к изучению курса "Алгебра и теория чисел" (Сост.: к.ф.-м.н., доц. Можан Н.Н. - Тара, 1999, 33 с.) Методические указания составлены в соответствии с учебной программой по дисциплине "Алгебра и теория чисел" и предназначены для студентов первого курса с целью усвоения действий над матрицами и вычисления определителей. Подробно описывается теоретический материал, позволяющий самостоятельно освоить предложенные темы студентам-заочникам. Упражнения помогают приобрести навыки вычислений этих самых распространенных математических задач, связанных с матрицами и определителями. Задачи и упражнения расширяют кругозор, помогают освоить теоретический материал и могут быть использованы как контрольные задания. Рецензент: д.п.н., проф. Далингер В.А. (с) Можан Н.Н. Подписано в печать - 05.02.99 Бумага газетная Тираж 100 экз. Способ печати оперативный ОмГПУ, 644099, Омск, наб.Тухачевского, 14 филиал, 646500, Тара, ул. Школьная, 69 1. Матрицы. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P. Здесь мы будем рассматривать матрицы с элементами из поля действительных чисел (хотя все рассуждения сохраняются и для матриц с элементами из поля комплексных чисел). Чаще всего элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размеры (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме . В краткой форме допускается обозначение матрицы размеров в виде , где i пробегает все значения от 1 до m, а j - от 1 до n. (Скобки при обозначении матриц используют не только круглые, но и квадратные). Матрицы, имеющие одно и то же число n строк и столбцов, называют квадратными; это число n называют порядком квадратной матрицы. Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равные нулю, кроме элементов главной диагонали, т.е. элементов в позициях (1,1), (2,2), ..., (n, n). Диагональная матрица D с диагональными элементами d1, d2, ..., dn обозначается diag(d1, d2, ..., dn). Диагональная матрица diag(1, 1, ..., 1) называется единичной и обозначается E (или En). Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой. Матрица, состоящая из одной строки, часто называется вектором (строкой), а из одного столбца - вектор-столбцом (столбцом). Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах. Матрицу A={ai j} можно транспонировать, т.е. заменить строки столбцами, в результате чего получится транспонированная матрица AT={aj i}. Две A={ai j} и B={bi j} матрицы одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C={ci j}, , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить элементы этих матриц, находящихся на одних и тех же позициях. Т.к. мы рассматриваем здесь матрицы с элементами из поля P, то очевидна ассоциативность операции сложения матриц, вытекающая из ассоциативности сложения элементов поля P. Аналогично имеет место коммутативность сложения. Таким образом, справедливы действия: 1. (A+B)+C=A+(B+C); 2. A+B=B+A; 3. матрица 0, состоящая из нулей, играет роль нуля: A+0=A при любой A. Определим произведение элемента c из поля P на матрицу A={ai j}: cA={cai j}, т.е. чтобы умножить матрицу на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число. 4. Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что A+(-A)=0. (В качестве матрицы -A, очевидно, следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком). 5. . 6. . 7. . 8. . Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств действий в поле. Рассмотрим матрицу A={ai j} размером и матрицу B={bi j} размером . Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C={ci j} размером , где . Правило умножения легко запомнить в словесной форме: "чтобы получить элемент произведения ci j двух матриц нужно элементы i-ой строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и все произведения сложить". Пример: Пусть A={ai j} размером и B={bi j} размером , а также , и . Рассмотрим линейные подстановки с этими матрицами: и Эти подстановки, используя определение умножения матриц, можно записать в матричном виде: Y=AX, X=BT. Покажем, что если эти две подстановки сделать одну за другой, т.е. выразить переменные y1, ..., ym через t1, ..., tk, то матрица коэффициентов окажется равной AB. Действительно, пусть . Тогда коэффициент ci j есть коэффициент при tj в yi. Выпишем все необходимое для вычисления этого коэффициента: При подстановке x1, x2, ..., xk в yi, мы получим Таким образом, , так что матрица коэффициентов в выражениях y1, ..., ym через t1, ..., tk действительно равна AB. Итак, последовательному произведению ("суперпозиции") двух линейных подстановок соответствует произведение их матриц. В матричной форме суперпозицию этих подстановок можно записать в виде Y=A(BT). Вместе с тем матрица суперпозиции равна AB, и этот факт записывается так: Y=(AB)T. Таким образом, верно следующее соотношение ассоциативности: A(BT)=(AB)T, где T - столбец. Рассмотрим теперь свойства действия умножения матриц: 1. (cA)B=A(cB)=cAB; 2. (A1+A2)B=A1B+A2B; 3. A(B1+B2)=AB1+AB2. Эти свойства непосредственно вытекают из того, что элементы произведения выражаются как через элементы A, так и через элементы B в виде линейных однородных многочленов (можно также проверить, используя правило умножения и сложения матриц, группируя необходимые слагаемые). 4. (AB)C=A(BC) (ассоциативность умножения). Это свойство трактуется таким образом, что если одна из частей равенства имеет смысл, то имеет смысл и другая, и
Умар.Ш. был тут !!!!!
 
давайте изгоним мат !!!
 
ДОБРОЙ НОЧИ ОТ Ъ
ЛОКИ ИНО
 
ДМК МЭ
 
где инфааа?