Новости Словари Конкурсы Бесплатные SMS Знакомства Подари звезду
В нашей
базе уже
59876
рефератов!
Логин

Пароль

О некоторых применениях алгебры матриц

О некоторых применениях алгебры матриц.
О некоторых применениях алгебры матриц МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова


Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры


Лакунова Залина

Дипломная работа


«О некоторых применениях алгебры матриц»



Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /

Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/

Допущена к защите
2002г.

Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/



Нальчик 2002

Оглавление
стр.

Введение 3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21



Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в
теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических
уравнений малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана
теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех
положительных чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается
на свойства циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут
быть допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»



д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА
/В.Н.Шокуев/



§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы
линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит
в следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система [pic] линейных
уравнений с неизвестными [pic]

[pic] (1)

Определитель которой отличен от нуля:

[pic] (2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

[pic] (3)

где [pic]- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

[pic] (4)

[pic]- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

[pic]- столбец свободных членов системы (1)

Так как [pic], то матрица [pic] невырожденная и для нее существует обратная
матрица [pic]. Умножив равенство (3) на [pic] (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и [pic]- ее решение)
[pic],
где обратная матрица [pic] имеет вид:

[pic]
([pic]-алгебраическое дополнение элемента [pic] в определителе [pic])
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование предполагает владение понятием
алгебраического дополнения [pic] как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай
[pic]. Очевидно, что при [pic] выполняются следующие матричные равенства
(если задана система (1)):

[pic]

[pic]

[pic]

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через [pic] получим формулы Крамера:

[pic] [pic] [pic] ([pic])
[pic] [pic] (Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка [pic] ничего по
существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица [pic] с
определителем [pic] получается из единичной матрицы заменой [pic]-го
столбца столбцом неизвестных:

[pic] (5)

Теперь из [pic] равенств

[pic] [pic],

где [pic]- матрица, получающаяся заменой [pic]- го столбца матрицы [pic]
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:

[pic], откуда ввиду [pic] имеем

[pic] [pic].
(здесь [pic] получается из [pic], как и [pic] из [pic]).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1)
состоит в следующем (по-прежнему [pic]): пусть система (1) совместна и
числа [pic] (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при [pic]
имеем, используя два линейных свойства определителя:

[pic] [pic]
Можно начать и с определителя [pic], в котором вместо свободных
членов в [pic]-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя
соответствующие свойства определителя, получим:
[pic] ([pic]),
откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),
производится одним из известных способов.



§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:
[pic]
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
[pic].
Прибавив первые две строки к третьей, получим:

[pic].
Вынесем общий множитель [pic] из последней строки:

[pic].
Так как

[pic],
то
[pic].
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
[pic]
Сле
Умар.Ш. был тут !!!!!
 
давайте изгоним мат !!!
 
ДОБРОЙ НОЧИ ОТ Ъ
ЛОКИ ИНО
 
ДМК МЭ
 
где инфааа?