Новости Словари Конкурсы Бесплатные SMS Знакомства Подари звезду
В нашей
базе уже
59876
рефератов!
Логин

Пароль

Теорема Штольца

Теорема Штольца.
Теорема Штольца Содержание работы:


2. Применение теоремы Штольца:
a) [pic];
b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений
варианты [pic];
c) [pic];
d) [pic].

3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.



Для определения пределов неопределенных выражений [pic] типа [pic]
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта [pic], причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с
возрастанием n и [pic] возрастает: [pic]. Тогда [pic]=[pic],
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу [pic]:
[pic].
Тогда по любому заданному [pic] найдется такой номер N, что для n>N будет
[pic]
или
[pic].
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби [pic], [pic], …, [pic],
[pic]лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду
возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же
границами содержится и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех
числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех
знаменателей. Итак, при n>N
[pic].

Напишем теперь тождество:


[pic],


откуда

[pic].
Второе слагаемое справа при n>N становится <[pic]; первое же слагаемое,
ввиду того, что [pic], также будет <[pic], скажем, для n>N’. Если при
этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, [pic], что и доказывает наше
утверждение.

Примеры:
1. Пусть, например, [pic]. Отсюда, прежде всего вытекает, что (для
достаточно больших n) [pic], следовательно, вместе с yn и xn[pic],
причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае,
доказанную теорему можно применить к обратному отношению [pic]
[pic]
(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что [pic], что и
требовалось доказать.

2. При а>1
[pic]

Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:[pic]
[pic]

3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного
предложения:
Если варианта an[pic]имеет предел (конечный или бесконечный), то этот
же предел имеет и варианта
[pic]
(“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме Штольца
Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
Имеем:
[pic]
Например, если мы знаем, что [pic],
то и [pic]

4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
[pic],
которая представляет неопределённость вида [pic].
Полагая в теореме Штольца
xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
[pic].
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
так что
nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
[pic].

5. Определим предел варианты
[pic] ,
представляющей в первой форме неопределенность вида [pic], а во второй –
вида [pic]. Произведя вычитание дробей, получим на этот раз
неопределенное выражение вида [pic]:
[pic].
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще
раз ту же теорему. Получим
[pic].
Но [pic],
а [pic],
так что, окончательно,
[pic].

Пример 1.
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]= [pic]=[pic][pic]=[pic]=[pic].

Пример 2.
[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic]=
=[pic].


Пример 3.
[pic]
=[pic]
=[pic].

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к.
последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно
обобщить для функций.

Теорема.
Пусть функция [pic], причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk),
т.е. функция возрастающая.

Тогда [pic],
если только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим, что этот предел равен конечному числу k
[pic].
Тогда, по определению предела [pic]
[pic]
или
[pic].
Значит, какой бы [pic] ни взять, все дроби
[pic], [pic], …, [pic]
лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания
g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится
и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех числителей, написанных
выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при [pic]
[pic].
Напишем тождество(которое легко проверить):
[pic],

Откуда

[pic].
Второе слагаемое справа при [pic] становится [pic]; первое же
слагаемое, ввиду того, что [pic], так же будет [pic], скажем, для [pic].
Если при этом взять [pic], то для [pic], очевидно [pic], что и доказывает
теорему.


Примеры:

Найти следующие пределы:

1. [pic] очевидна неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=2

2. [pic] неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=0

3. [pic] неопределенность [pic]
[pic]=[pic]=[pic]=[pic]



Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.
Умар.Ш. был тут !!!!!
 
давайте изгоним мат !!!
 
ДОБРОЙ НОЧИ ОТ Ъ
ЛОКИ ИНО
 
ДМК МЭ
 
где инфааа?