Новости Словари Конкурсы Бесплатные SMS Знакомства Подари звезду
В нашей
базе уже
59876
рефератов!
Логин

Пароль

Алгебра матриц

Алгебра матриц.
Алгебра матриц
Основные понятия
Краткое содержание реферата: «Алгебра матриц» Умножение матриц Вырожденные и невырожденные матрицы Обратная матрица
Мы будем рассматривать числовые матрицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Для обозначения матрицы, как правило, используются круглые скобки. При записи, в общем виде элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает номер строки, а второй – номер столбца матрицы. Например, матрица





.








.
В сокращенной записи: А=(аij); где аij - действительные числа, i=1,2,…m;
j=1,2,…,n (кратко  , . ). Произведение  называют размером матрицы.
Матрица называется квадратной порядка n, если число ее строк равно числу столбцов и равно n:

 Упорядоченный набор элементов а11,а22,…,аnn называется главной диагональю, в свою очередь, а1n,а2,n-1,…,аn1 – побочной диагональю матрицы. Квадратная матрица, элементы которой удовлетворяют условию:         
называется диагональной, т.е. диагональная матрица имеет вид:
              
Диагональная матрица порядка n называется единичной, если все элементы ее главной диагонали равны 1. Матрица любого размера называется нулевой или нуль матрицей, если все ее элементы равны нулю. Единичная матрица обозначается буквой Е, нулевая – О. Матрицы имеют вид:





.          
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ
Определение. Суммой матриц А=(аij) и B=(bij) одинаковых размеров  называется матрица С=(сij) тех же размеров, такая что cij=aij+bij для всех i и j.
.
Таким образом, чтобы сложить матрицы А и В, надо сложить их элементы, стоящие на одинаковых местах. Например,
A + B =  = C
Определение. Произведение матрицы А на число l называется матрица         lА=(l аij), получаемая умножением всех элементов матрицы А на число l.

Например, если  и l=5,   то
Разность матриц А и В можно определить равенством А-В=А+(-1)В.
Рассмотренные операции называются линейными.
Отметим некоторые свойства операций.
Пусть А,В,С – матрицы одинакового размера; a,b - действительные числа.
А+В = В+А – коммутативность сложения.
(А+В)+С = А+(В+С) – ассоциативность сложения.
Матрица О, состоящая из нулей, играет роль нуля: А+О=А.
Для любой матицы А существует противоположная –А, элементы которой отличаются от элементов А знаком, при этом А+( -А)=О.
a(bА) = (ab)А = (aА)b.          6. (a+b)А = aА+bА.
            7.   a(А+В) = aА+aВ.         8.  1* А = А.          9.   0 * А = 0.
Умножение матриц
В матричной алгебре важную роль играет операция умножения матриц, это весьма своеобразная операция.
Определение. Произведением матрицы А=(аij)  размера  и прямоугольной матрицы B=(bij)  размера   называется прямоугольная матрица С=(сij) размера , такая что cij=ai1+b1j+ ai2+b2j+…+ aik+bkj;  , .
Таким образом, элемент произведения матриц А и В, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки первой матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца второй матрицы В т.е.
 .
Произведение С=АВ определено, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Это условие, а также размеры матриц можно представить схемой:

Очевидно, что операция умножения квадратных матриц всегда определена.
Примеры. Найдем произведения матриц АВ и ВА, если они существуют.
1.  , .
      
    
                                         
2.  , .
      
    
                                         
Таким образом, коммутативный (переместительный) закон умножения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е.  В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А  n-го порядка на единичную матрицу Е такого же порядка, т.е.
3. , .
Для этих матриц произведение как АВ ,так и ВА не существует.

     
Получим , ВА – не существует.
Свойства умножения матриц.
Пусть А,В,С – матрицы соответствующих размеров (т.е. произведения матриц определены), l - действительное число. Тогда на основании определений операций и свойств действительных чисел имеют место следующие свойства:
(АВ)С = А(ВС) – ассоциативность.
(А+В)С = АС+ВС – дистрибутивность.
А(В+С) = АВ+АС – дистрибутивность.
l(АВ) = (lА)В = А(lВ).
ЕА = АЕ = А, для квадратных матриц единичная матрица Е играет роль единицы.
Приведем пример доказательства лишь одного свойства. Докажем, например, свойство 3.
Пусть для А=(аij), B=(bij), C=(cij) произведения матриц определены. Найдем элемент i-ой строки и j-го столбца матрицы А(В+С). Это будет число
аi1(b1j+c1j)+ аi2(b2j+c2j)+…+аin(bnj+cnj) =
(аi1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)+ (аi1c1j+ai2c2j+…+aincnj).
Первая сумма в правой части равенства равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АВ, а вторая сумма равна элементу из i-ой строки и j-го столбца матрицы АС. Рассуждение верно при любых i и  j, то свойство 3 доказано.
Упражнение 1. Проверьте свойство ассоциативности 1
Умар.Ш. был тут !!!!!
 
давайте изгоним мат !!!
 
ДОБРОЙ НОЧИ ОТ Ъ
ЛОКИ ИНО
 
ДМК МЭ
 
где инфааа?