Новости Словари Конкурсы Бесплатные SMS Знакомства Подари звезду
В нашей
базе уже
59876
рефератов!
Логин

Пароль

Движение в центральносимметричном поле

Движение в центральносимметричном поле.
Движение в центральносимметричном поле Национальный Технический Университет Украины





Реферат

По курсу: Квантовая Механика
На тему:
« Движение в центрально – симметричном поле »



Выполнил студент
группы ДС-71
Садрицкий Роман.



Киев-1999г.

Содержание:


Движение в центрально-симметричном поле.


Падение частицы на центр.


Движение в кулоновом поле ( сферические координаты ).



1.Движение в центрально-симметричном поле.


Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой
механике может быть сведена к задаче об одной частице, - аналогично тому,
как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух
частиц ( с массами [pic]) , взаимодействующих по закону [pic] [pic]-
расстояние между частицами), имеет вид

[pic][pic] (1,1)

где [pic]- операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-
векторов частиц [pic] и [pic] новые переменные [pic] и [pic]:

[pic] [pic]
(1,2)

[pic] - вектор взаимного расстояния, а [pic]- радиус-вектор центра инерции
частиц. Простое вычисление приводит к результату:

[pic] (1,3)

( [pic] и [pic]- операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов
[pic] и [pic];
[pic] - полная масса системы; [pic] - приведенная масса). Таким образом,
гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно
этому, можно искать [pic] в виде произведения [pic], где функция [pic]
описывает движение центра инерции ( как свободное движение частицы с массой
[pic]), а [pic] описывает относительное движение частиц ( как движение
частицы массы [pic] в центрально-симметричном поле [pic] ).
Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально-симметричном
поле имеет вид

[pic]
(1,4)

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических
координатах, напишем это уравнение в виде

[pic].

(1,5)

Если ввести сюда оператор квадрата момента:

[pic],

то мы получим

[pic] (1,6)

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется.
Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями
момента [pic] и его проекции [pic]. Заданием значений [pic] и [pic]
определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому,
ищем решения уравнения (1,6) в виде

[pic]
(1,7)

где [pic]- сферические функции. Поскольку [pic] , то для «радиальной
функции» [pic] получаем уравнение

[pic] (1,8)

Это уравнение не содержит вовсе значения [pic], что соответствует [pic]-
кратному вырождению уровней по направлениям момента.
Займемся исследованием радиальной части волновых функций. Подстановкой

[pic]
(1,9)

уравнение (1,8) приводится к виду

[pic] (1,10)

Если потенциальная энергия [pic] везде конечна, то должна быть конечной во
всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция
[pic], а следовательно, и ее радиальная часть [pic]. Отсюда следует, что
[pic] должна обращаться в нуль при [pic]:

[pic]
(1,11)

В действительности это условие сохраняется также и для поля, обращающегося
при [pic] в бесконечность.
Уравнение (1,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для
одномерного движения в поле с потенциальной энергией

[pic]
(1,12)

равной сумме энергии [pic], и члена

[pic] ,

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о
движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном
движении в области, ограниченной с одной стороны ( граничное условие при
[pic]). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функции
[pic], определяющееся интегралом

[pic].

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни
энергии не вырождены. Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии
решение уравнения (1,10), т.е. радиальная часть волновой функции,
определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой
функции полностью определяется значениями [pic] и [pic], мы приходим к
выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция
полностью определяется значениями [pic]. Другими словами, энергия, квадрат
момента и его проекция составляют полный набор физических величин для
такого движения.
Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному
позволяет применить осцилляционную теорему. Расположим собственные значения
энергии ( дискретного спектра ) при заданном [pic] в порядке возрастания,
перенумеровав их порядковыми номерами [pic], причем наиболее низкому уровню
приписывается номер [pic]. Тогда [pic] определяет число узлов радиальной
части волновой функции при конечных значениях [pic] (не считая точки
[pic]). Число [pic] называют радиальным квантовым числом. Число [pic] при
движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным
квантовым числом, а [pic]- магнитным квантовым числом.
Для обозначения состояний с различными значениями момента [pic] частицы
существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами
латинского алфавита со следующим соответствием:

[pic] 1 2 3 4 5 6 7 . . .[pic]
[pic] [pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] (1,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном
поле всегда является [pic]- состояние; действительно, при [pic] угловая
часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая
функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также
утверждать, что наименьшее возможное при заданном [pic] собственное
значение энергии растет с увеличением [pic]
Умар.Ш. был тут !!!!!
 
давайте изгоним мат !!!
 
ДОБРОЙ НОЧИ ОТ Ъ
ЛОКИ ИНО
 
ДМК МЭ
 
где инфааа?